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    青海体彩十一选五:高中数学第3讲柯西不等式与排序不等式 3 排序不等式课后练习.docx 4页

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    2016-2017学年高中数学 第3讲 柯西不等式与排序不等式 3 排序不等式课后练习 新人教A版选修4-5 一、选择题 1.若A=xeq \o\al(2,1)+xeq \o\al(2,2)+…+xeq \o\al(2,n),B=x1x2+x2x3+…+xn-1xn+xnx1,其中x1,x2,…,xn都是正数,则A与B的大小关系为(  ) A.A>B            B.A<B C.A≥B D.A≤B 解析: 依序列{xn}的各项都是正数,不妨设0<x1≤x2≤…≤xn,则x2,x3,…,xn,x1为序列{xn}的一个排列. 依排序原理,得x1x1+x2x2+…+xnxn≥x1x2+x2x3+…+xnx1,即xeq \o\al(2,1)+xeq \o\al(2,2)+…+xeq \o\al(2,n)≥x1x2+x2x3+…+xnx1. 答案: C 2.(1+1)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(1,4)))·…·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(1,61)))·…·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1+\f(1,3n-2)))的取值范围是(  ) A.(21,+∞) B.(61,+∞) C.(4,+∞) D.(3n-2,+∞) 答案: C 3.已知a1,a2,a3为正整数,则a1+eq \f(a2,4)+eq \f(a3,9)的最大值为(  ) A.3 B.eq \f(1,3) C.eq \f(5,6) D.eq \f(49,36) 答案: D 4.设a,b,c∈R+,则式子M=a5+b5+c5-a3bc-b3ac-c3ab A.M≥0 B.M≤0 C.M的符号与a,b,c的大小有关 D.不能确定 解析: 不妨设a≥b≥c>0,则a3≥b3≥c3,且a4≥b4≥c4,则a5+b5+c5=a·a4+b·b4+c·c4 ≥a·c4+b·a4+c·b4. 又a3≥b3≥c3,且ab≥ac≥bc. ∴a4b+b4c+c =a3·ab+b3·bc+c3·ca ≥a3bc+b3·ac+c3ab ∴a5+b5+c5≥a3bc+b3ac+c3ab ∴M≥0. 答案: A 二、填空题 5.有4人各拿一只水桶去接水,设水龙头注满每个人的水桶分别需要5 s,4 s,3 s,7 s,每个人接完水后就离开,则他们等候的总时间最短为________s. 解析: 由题意知,等候的时间最短为 3×4+4×3+5×2+7=41. 答案: 41 6.设A,B,C表示△ABC的三个内角,a,b,c表示其对边,则eq \f(aA+bB+cC,a+b+c)的最小值为________(A,B,C用弧度制表示). 解析: 不妨设a≥b≥c,则A≥B≥C. 由排序不等式,得 aA+bB+cC=aA+bB+cC. aA+bB+cC≥bA+cB+aC, aA+bB+cC≥cA+aB+bC, 将以上三式相加,得 3(aA+bB+cC)≥(a+b+c)·(A+B+C) =π(a+b+c), ∴eq \f(aA+bB+cC,a+b+c)≥eq \f(π,3). 答案: eq \f(π,3) 三、解答题 7.设c1,c2,…,cn为正数a1,a2,…,an的某一排列,求证:eq \f(a1,c1)+eq \f(a2,c2)+…+eq \f(an,cn)≥n. 证明: 不妨设0<a1≤a2≤…≤an,则 eq \f(1,a1)≥eq \f(1,a2)≥…≥eq \f(1,an). ∵eq \f(1,c1),eq \f(1,c2),…,eq \f(1,cn)是eq \f(1,a1),eq \f(1,a2),…,eq \f(1,an)的一个排列,故由排序原理: 反序和≤乱序和得 a1·eq \f(1,a1)+a2·eq \f(1,a2)+…+an·eq \f(1,an)≤a1·eq \f(1,c1)+a2·eq \f(1,c2)+…+an·eq \f(1,cn),即eq \f(a1,c1)+eq \f(a2,c2)+…eq \f(an,cn)≥n. 8.设a,b,c∈R+,求证: eq \f(1,a3+b3+abc)+eq \f(1,b3+c3+abc)+eq \f(1,c3+a3+abc)≤eq \f(1,abc). 证明: 不妨设a≥b≥c>0,则a2≥b2, ∴a3+b3=a2·a+b2·b≥a2·b+b2·a=ab(a+b). 同理b3+c3≥bc(b+c),c3+a3≥ac(c+a), 所以eq \f(1,a3+b3+abc)+eq \f(1,b3+c3+abc)+eq \f(1,c3+a3+abc) ≤eq \f(1,ab?a+b?+abc)+eq \f(1,

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