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    18101349青海11选5:高中数学第3讲柯西不等式与排序不等式 2 一般形式的柯西不等式课后练习.docx 4页

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    2016-2017学年高中数学 第3讲 柯西不等式与排序不等式 2 一般形式的柯西不等式课后练习 新人教A版选修4-5 一、选择题 1.已知a+b+c=1,且a,b,c∈R+,则eq \f(2,a+b)+eq \f(2,b+c)+eq \f(2,c+a)的最小值为(  ) A.1             B.3 C.6 D.9 解析: ∵a+b+c=1, ∴eq \f(2,a+b)+eq \f(2,b+c)+eq \f(2,c+a) =2(a+b+c)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a+b)+\f(1,b+c)+\f(1,c+a))) =[(a+b)+(b+c)+(c+a)]·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a+b)+\f(1,b+c)+\f(1,c+a))) ≥(1+1+1)2=9. 答案: D 2.若实数x+y+z=1,则F=2x2+y2+3z2的最小值为(  ) A.1 B.6 C.11 D.eq \f(6,11) 解析: ∵(2x2+y2+3z2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)+1+\f(1,3))) ≥(eq \r(2)x·eq \f(1,\r(2))+y·1+eq \r(3)z·eq \f(1,\r(3)))2 =(x+y+z)2=1, ∴2x2+y2+3z2≥eq \f(1,\f(11,6))=eq \f(6,11). 即F≥eq \f(6,11). 答案: D 3.已知a,b,c,d,e是满足a+b+c+d+e=8,a2+b2+c2+d2+e2=16的实数,则e的最大值为(  ) A.3 B.4 C.5 D.eq \f(16,5) 解析: ∵(a+b+c+d)2≤4(a2+b2+c2+d2), ∴(8-e)2≤4(16-e2), ∴0≤e≤eq \f(16,5). 答案: D 4.求函数y=5eq \r(x-1)+eq \r(10-2x)的最大值(  ) A.6eq \r(3) B.3eq \r(6) C.6 D.6eq \r(2) 解析: 函数的定义域为(1,5),且y>0, y=5×eq \r(x-1)+eq \r(2)×eq \r(5-x) ≤eq \r(52+?\r(2)?2)×eq \r(?\r(x-1)?2+?\r(5-x)?2) =eq \r(27×4)=6eq \r(3). 当且仅当eq \r(2)×eq \r(x-1)=5×eq \r(5-x)时,等号成立, 即x=eq \f(127,27)时,函数取最大值6eq \r(3). 答案: A 二、填空题 5.设x,y,z∈R,若x2+y2+z2=4,则x-2y+2z的最小值为________时,(x,y,z)=________. 解析: ∵(x-2y+2z)2≤(x2+y2+z2) [12+(-2)2+22]=4×9=36, ∴x-2y+2z最小值为-6, 此时eq \f(x,1)=eq \f(y,-2)=eq \f(z,2). 又∵x2+y2+z2=4, ∴x=-eq \f(2,3),y=eq \f(4,3),z=-eq \f(4,3). 答案:?。? eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(2,3),\f(4,3),-\f(4,3))) 6.已知实数x,y,z满足x+2y+z=1,则x2+4y2+z2的最小值为________. 解析: 由柯西不等式得 (x2+4y2+z2)(1+1+1)≥(x+2y+z)2. ∵x+2y+z=1, ∴3(x2+4y2+z2)≥1, 即x2+4y2+z2≥eq \f(1,3). 当且仅当x=2y=z=eq \f(1,3), 即x=eq \f(1,3),y=eq \f(1,6),z=eq \f(1,3)时等号成立. 故x2+4y2+z2的最小值为eq \f(1,3). 答案: eq \f(1,3) 三、解答题 7.设a,b,c,d为正数,a+b+c+d=1,求a2+b2+c2+d2的最小值. 解析: ∵a,b,c,d为正数, ∴由柯西不等式得 (a2+b2+c2+d2)(12+12+12+12)≥(a+b+c+d)2. ∵a+b+c+d=1, ∴4(a2+b2+c2+d2)≥1, 即a2+b2+c2+d2≥eq \f(1,4). ∴a2+b2+c2+d2的最小值为eq \f(1,4). 8.已知a,b,c∈R+,求证:eq \f(a,b+c)+eq \f(b,c+a)+eq \f(c,a+b)≥eq \f(3,2). 证明: ∵eq \f(a,b+c)+eq \f(b,c+a)+eq \f(c,c+b)+3 =eq \b\lc\(\rc\)(

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