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    2016-2017学年高中数学 第3讲 圆锥曲线性质的探讨课后练习 新人教A版选修4-1 一、选择题(每小题5分,共20分) 1.有下列四个命题: ①矩形的平行射影一定是矩形;②矩形的正射影一定是矩形;③梯形的平行射影一定是梯形;④梯形的正射影一定是梯形. 其中正确命题的个数是(  ) A.0            B.1 C.2 D.3 解析:?、倬匦蔚钠叫猩溆耙部赡苁瞧叫兴谋咝位蛳叨危?②当投影线与矩形所在平面平行时,矩形的正射影是线段. ③梯形的平行射影可以是梯形,也可以是线段. ④当投影线与梯形所在平面平行时,梯形的正射影是线段.故都不正确. 答案: A 2.如果一个三角形的平行射影仍是一个三角形,则下列结论正确的是(  ) A.内心的平行射影还是内心 B.重心的平行射影还是重心 C.垂心的平行射影还是垂心 D.外心的平行射影还是外心 答案: A 3.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是(  ) A.(0,+∞) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(0,1) 解析: 将所给方程x2+ky2=2转化为标准形式,即eq \f(x2,2)+eq \f(y2,\f(2,k))=1.因为焦点在y轴上,所以有eq \f(2,k)>2,于是0<k<1. 答案: D 4.已知圆锥面的轴截面为等腰直角三角形,用一个与轴线成30°角的不过圆锥顶点的平面去截圆锥面时,所截得的截线的离心率为(  ) A.eq \f(\r(6),2) B.eq \f(\r(6),3) C.eq \f(3,2) D.eq \f(\r(2),2) 解析: ∵圆锥的轴截面为等腰直角三角形,所以母线与轴线的夹角α=45°;又截面与轴线的夹角β=30°,即β<α, ∴截线是双曲线,其离心率e=eq \f(cos β,cos α)=eq \f(cos 30°,cos 45°)=eq \f(\r(3),\r(2))=eq \f(\r(6),2). 答案: A 二、填空题(每小题5分,共10分) 5.在正方体ABCD-A′B′C′D′中,过对角线BD′的平面交AA′于E,CC′于F,则 ①四边形BFD′E一定是平行四边形; ②四边形BFD′E有可能是正方形; ③四边形BFD′E在底面ABCD内的射影一定是正方形; ④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D. 以上结论正确的为 ________.(写出所有正确的结论的编号) 解析: 由平行射影及正射影知①③④正确. 答案:?、佗邰?6.已知圆锥面的母线与轴成44°角,用一个与轴线成44°角的不过圆锥顶点的平面去截圆锥面时,所截得的截线是 ________. 解析: 由已知α=β=44°,故截线为抛物线. 答案: 抛物线 三、解答题(每小题10分,共20分) 7.已知圆锥的母线长为l,底面半径为R,如果过圆锥顶点的截面面积S的最大值是eq \f(1,2)l2,求eq \f(R,l)的取值范围. 解析: 如右图所示,△PAB是过圆锥顶点P的截面.设∠APB=x,圆锥的顶角为α,即∠APC=α,则△PAB的面积S=eq \f(1,2)PA·PBsin x=eq \f(1,2)l2sin x(0<x≤α). 当0<α<eq \f(π,2)时,Smax=eq \f(1,2)l2sin x; 当eq \f(π,2)≤α<π时,Smax=eq \f(1,2)l2. ∴由题设知,eq \f(π,2)≤α<π,∴eq \f(π,4)≤eq \f(a,2)<eq \f(π,2),∴eq \f(\r(2),2)≤sineq \f(α,2)<1. 又∵在Rt△PAO中,eq \f(R,l)=sineq \f(α,2),∴eq \f(\r(2),2)≤eq \f(R,l)<1, 即eq \f(R,l)的取值范围是eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2),1)). 8.已知点A(1,2)在椭圆eq \f(x2,16)+eq \f(y2,12)=1内,F的坐标为(2,0),在椭圆上求一点P,使|PA|+2|PF|最?。?解析: 如图所示, ∵a2=16,b2=12, ∴c2=4,c=2. ∴F为椭圆的右焦点,并且离心率为eq \f(2,4)=eq \f(1,2). 设P到右准线的距离为d,则|PF|=eq \f(1,2)d,d=2|PF|. ∴|PA|+2|PF|=|PA|+d. 由几何性质可知,当P点的纵坐标(横坐标大于零)与A点的纵坐标相同时,|PA|+d最?。?把y=2代入eq \f(x2,16)+eq \f(y2,12)=1, 得x=eq \f(4\r(6),3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x=-\f(4\r(6),3)舍去

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